Flexible Paxos: Quorum intersection revisited 这篇论文重新审视了Paxos中关于Quorum的问题。在Basic Paxos中，要求任何quorum都有交集（通常选择多数派作为quorum）。事实上，这个要求可以放宽到Paxos的两个阶段prepare/accept阶段的quorum有交集即可。

我们从Basic Paxos证明过程简单描述为什么放宽后算法依然正确（原论文最后给了一个TLA+的形式化证明）。

在前文Basic Paxos证明过程中，我们看到，Theorem 1的证明关键点在于$\exists B\triangle\in (C_{qrm} \cap B_{vot})$。$ B\triangle $的存在，使得如果后续的Ballot C想投票，则在prepare阶段，一定会通过$MaxVote(C_{bal}, C_{qrm}, \mathcal{B}) $问到Ballot B投的dec。

那么，在Basic Paxos协议中，$\exists B\triangle\in (C_{qrm} \cap B_{vot})$条件之所以成立，是因为 $ B_{qrm} \subseteq B_{vot}$ 并且 $ B_{qrm} \cap C_{qrm}\neq \emptyset$。

由此我们可以知道，Basic Paxos协议要求任何quorum都是有交集是保证Paxos协议正确性的充分不必要条件。我们可以把约束放宽到**$ C_{qrm} \cap B_{vot} \neq \emptyset $**即可。

这个条件表达的意思是，prepare阶段和accept阶段的quorum交集不空即可。文中称这种协议为Flexible Paxos。

放宽的方式可以多种多样。论文描述了几种可能的方式。为行文描述方便，prepare阶段的quorum记为Q1，accept阶段的则记为Q2。

第一种，Majority quorums

也是多数派的约束，但是跟Basic Paxos略有差别。在Basic Paxos中，要求两个阶段的quorum都至少是$n/2+1$。这里可以放宽为，如果n是偶数，$Q_1$为至少是$n/2+1$，$Q_2$至少是$n/2$。n是奇数的话，不能按这种方式放宽。

如果正好$n/2$的机器宕机了，Multi Paxos中，只要leader仍然活着，accept阶段可以继续progress（注，Multi Paxos协议中，prepare请求为从某个instance之后的所有的无穷多个instance做prepare）。不过如果leader宕机了，Mutli Paxos需要重新执行prepare阶段时，也是无法进行下去的。

第二种，Simple quorums

在第一种majority quorumns基础上继续的一个泛化，把条件改为$ |Q_1| + |Q_2| > N $。

这种方式下，$Q_1$如果设大，$Q_2$就可设小一点。那么，accept阶段就可以减少需要同步的节点数，只是leader宕机后重新prepare时就只能容忍较少的节点宕机。反之，accept阶段需要同步的节点更多，但重新prepare时只需要较少的节点在线。

这种quorum跟Dynamo的NRW方案很像：数据被冗余N份，写操作只写其中的W份，读操作只读取R份，如果W+R>N，则一定能不会漏掉早于读取前完成的写结果。Paxos也是类似，在prepare阶段也一定要获取到可能已经被确认的决议的值。

第三种 Grid quorum

Grid quorum system：将$N$个节点分为$ N=N_1*N_2 $的矩阵。

Paxos要求任意两个quorum都有交集。因此在grid quorum system里，Paxos可以选择quorum为一行加一列。任意两个quorum都有交集，如左图。这种选择最多允许任意$Min(N_1,N_2)$个节点宕机，即宕机一整行或者一整列就会导致协议走不下去。假设蓝色表示$Q_1$，绿色表示$Q_2$。

在Flexible Paxos协议下，根据$Q_1$和$Q_2$交集不空的约束，$Q_1$可以为一行大小$N_1$，$Q_2$可以为一列大小$N_2$。这样，正常运行无宕机时，只需要同步$N_2$个节点即可。

需要指出的是，与simple quorum system不一样，grid quorum system下，节点本身不再是完全对等的。例如在上图中，4个节点宕机，左图prepare和accept阶段都无法推进，但是右图中，如果4个节点在同一列，则accept阶段可以继续推进，只要不需要进行prepare阶段，系统仍可持续服务。